백준 문제 중 11054번, DP, ‘가장 긴 바이토닉 부분수열’

백준 문제 중 11054번

https://www.acmicpc.net/problem/11054

문제

수열 S가 어떤 수 Sk를 기준으로 S1 < S2 < … Sk-1 < Sk > Sk+1 > … SN-1 > SN을 만족한다면, 그 수열을 바이토닉 수열이라고 한다.

예를 들어, {10, 20, 30, 25, 20}과 {10, 20, 30, 40}, {50, 40, 25, 10} 은 바이토닉 수열이지만, {1, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 2, 1}과 {10, 20, 30, 40, 20, 30} 은 바이토닉 수열이 아니다.

수열 A가 주어졌을 때, 그 수열의 부분 수열 중 바이토닉 수열이면서 가장 긴 수열의 길이를 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 수열 A의 크기 N이 주어지고, 둘째 줄에는 수열 A를 이루고 있는 Ai가 주어진다. (1 ≤ N ≤ 1,000, 1 ≤ Ai ≤ 1,000)

출력

첫째 줄에 수열 A의 부분 수열 중에서 가장 긴 바이토닉 수열의 길이를 출력한다.

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풀이

상당히 오래 고민한 문제이다.

이 문제의 핵심은 증가하는 수열의 dp랑 감소하는 수열의 dp 두개를 쓰는것이다.

증가하는 수열은 dpp에 저장하고, 감소하능 수열은 dpm에 저장한다. dpp는 기존에 풀어봤던 가장 긴 증가 부분수열과 완전히 동일하고, dpm은 조금 신경을 써야한다.

문제를 읽어보면 알겠지만 그냥 가장 긴 감소수열을 구하면 안되고 주어진 배열의 역순으로 스캔을 진행 해야한다.

여기서 간단하게 주어진 배열을 뒤집고, 뒤집고난 배열에서 가장 긴 증가수열을 구하면 원래 배열의 감소수열을 구하는것과 같음을 알 수있다. 이렇게 구한값을 dpm에 저장하고 다시 dpm을 뒤집으면 문제에 필요한 dpm을 만들 수 있다.

그후 dp에 dpp+dpm‐1의 값을 저장하면 바이토닉 수열의 dp가 완성된다.

n = int(input())

nums = list(map(int,input().split()))

 # 가장 긴 증가수열을 저장할 dpp
dpp = [1 for _ in range(n)]

 # 가장 긴 감소수열을 저장할 dpm
dpm = [1 for _ in range(n)]

 # 가장 긴 바이토닉 수열을 저장할 dp
dp = [None]*n

 # 가장 긴 증가수열 구하기
for i in range(1,n):

    for j in range(i):

        if nums[j]<nums[i]:

            dpp[i] = max(dpp[i],dpp[j]+1)

 # nums를 뒤집은 rnums선언
rnums = nums[::-1]

 # rnums의 가장 긴 증가수열
for i in range(1,n):

    for k in range(i):

        if rnums[k]<rnums[i]:

            dpm[i] = max(dpm[i],dpm[k]+1)

 # dpm을 뒤집음
dpm=dpm[::-1]

for i in range(n):

    dp[i]=dpp[i]+dpm[i]-1


print(max(dp))

10
1 5 2 1 4 3 4 5 2 1
[1, 2, 2, 1, 3, 3, 4, 5, 2, 1]
[1, 5, 2, 1, 4, 3, 3, 3, 2, 1]
[1, 6, 3, 1, 6, 5, 6, 7, 3, 1]