백준 문제 중 12865번, DP, ‘평범한 배낭’

백준 문제 중 12865번

https://www.acmicpc.net/problem/12865

문제

이 문제는 아주 평범한 배낭에 관한 문제이다.

한 달 후면 국가의 부름을 받게 되는 준서는 여행을 가려고 한다. 세상과의 단절을 슬퍼하며 최대한 즐기기 위한 여행이기 때문에, 가지고 다닐 배낭 또한 최대한 가치 있게 싸려고 한다.

준서가 여행에 필요하다고 생각하는 N개의 물건이 있다. 각 물건은 무게 W와 가치 V를 가지는데, 해당 물건을 배낭에 넣어서 가면 준서가 V만큼 즐길 수 있다. 아직 행군을 해본 적이 없는 준서는 최대 K만큼의 무게만을 넣을 수 있는 배낭만 들고 다닐 수 있다. 준서가 최대한 즐거운 여행을 하기 위해 배낭에 넣을 수 있는 물건들의 가치의 최댓값을 알려주자.

입력

첫 줄에 물품의 수 N(1 ≤ N ≤ 100)과 준서가 버틸 수 있는 무게 K(1 ≤ K ≤ 100,000)가 주어진다. 두 번째 줄부터 N개의 줄에 거쳐 각 물건의 무게 W(1 ≤ W ≤ 100,000)와 해당 물건의 가치 V(0 ≤ V ≤ 1,000)가 주어진다.

입력으로 주어지는 모든 수는 정수이다.

출력

한 줄에 배낭에 넣을 수 있는 물건들의 가치합의 최댓값을 출력한다.

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풀이

유명한 문제이나 직접 구현하려니 생각보다 어려웠던 문제이다.

먼저 입력받은 짐을 무게순으로, 무게가 같다면 가치가 높은 순으로 정렬후 cargo에 저장한다.
그리고 가로를 가방의 무게, 세로를 짐의 종류로 하는 2차원 배열 DP를 선언했다.
[0,0]과 0 축은 계산의 편의상 추가할 부분이고 모두 0으로 초기화 해준다.

짐이 [3,6]만 있는 경우인 1열 dp[1][mass]에 대하여 dp[1][1]부터 dp[1][k]까지의 값을 생각해보자.

dp[1][1]이 뜻하는 의미는 1kg까지 담을 수 있는 짐의 구성 중 최대 가치이다. 그러나 현재 있는 짐들 중 제일 작은 짐의 무게가 3이므로 아무것도 담을 수 없다. 즉 무게 mass가 cargo[1][0]보다 작을때는 cargo[1]번은 아예 담을 수 없으므로 이전의 짐의 구성들로 담는것과 다를게 없다.

즉 mass-cargo[c][0]<0 이라면 dp[c][mass] = dp[c-1][mass]를 만족한다.

이를 수도 코드로 나타내면

 if mass-cargo[c][0]<0:
            dp[c][mass] = dp[c-1][mass]

mass-cargo[1][0] >= 0을 만족하는 dp[1][3]은 3kg을 담을 수 있고, 짐을 구성할 수 있는 경우는 두가지이고 이 중 최대를 구해야한다.

1. [3,6]짐을 담을 수 있는 무게 mass 에서 cargo[1][0]을 뺀 값을 reamain = mass-cargo[1][0] 이라할때, [3,6]이 추가되기 이전의 짐구성 중 최대 가치를 나타내는 dp[1-1][reamin]에 cargo[1][1]을 더한 값이되는 경우.

2. [3,6]을 담을 수 있나 담지 않고 구성한 경우의 가치가 더 클경우 dp[1-1][3]

이를 수도코드로 나타내면

else:
dp[c][mass] = max(dp[c-1][mass-cargo[c][0]]+cargo[c][1], dp[c-1][mass]) 

	0	1	2	3	4	5	6	7
[0,0]	0	0	0	0	0	0	0	0
[3,6]	0	0	0	6	6	6	6	6
[4,8]	0	0	0	6	8	12	12	14
[5,12]	0	0	0	6	8	12	12	14
[6,13]	0	0	0	6	8	12	12	14

위의 내용들을 코드를 구현하면 아래와 같다.

from pprint import pprint
n, k = map(int,input().split())

 # 계산의 편의를 위해 [0,0] 추가
cargo =[[0,0]]
for _ in range(n):
    cargo.append(list(map(int,input().split())))

 # 계산의 편의를 무게, 가치 순으로 정렬
cargo.sort(key=lambda x: (x[0],x[1]))

 #계산의 편의를 위해 dp[0][j]축 dp[i][0] 추가
dp = [[0 for _ in range(k+1)] for _ in range(n+1)]

 # 모든 DP를 순회
for c in range(1,n+1):
    for mass in range(1,k+1):

         # 짐 c를 담을 수 있는 경우와 없는 경우 판단
        if mass-cargo[c][0]<0:

             # 담을 수 없다면 c-1까지의 짐의 구성과 같으므로 dp[c-1][mass]
            dp[c][mass] = dp[c-1][mass]

         # 담을 수 있다면, 담는경우와 안담는 경우 중 최대값을 판별
        else:
            dp[c][mass] = max(dp[c-1][mass-cargo[c][0]]+cargo[c][1], dp[c-1][mass])

pprint(dp)
print(dp[n][k])

4 7
3 6
4 8
5 12
6 13
[[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
 [0, 0, 0, 6, 6, 6, 6, 6],
 [0, 0, 0, 6, 8, 8, 8, 14],
 [0, 0, 0, 6, 8, 12, 12, 14],
 [0, 0, 0, 6, 8, 12, 13, 14]]
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