백준 문제 중 9020번, 수학, ‘ 골드바흐의 추측’
백준 문제 중 9020번
https://www.acmicpc.net/problem/9020
문제
1보다 큰 자연수 중에서 1과 자기 자신을 제외한 약수가 없는 자연수를 소수라고 한다. 예를 들어, 5는 1과 5를 제외한 약수가 없기 때문에 소수이다. 하지만, 6은 6 = 2 × 3 이기 때문에 소수가 아니다.
골드바흐의 추측은 유명한 정수론의 미해결 문제로, 2보다 큰 모든 짝수는 두 소수의 합으로 나타낼 수 있다는 것이다. 이러한 수를 골드바흐 수라고 한다. 또, 짝수를 두 소수의 합으로 나타내는 표현을 그 수의 골드바흐 파티션이라고 한다. 예를 들면, 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5, 12 = 5 + 7, 14 = 3 + 11, 14 = 7 + 7이다. 10000보다 작거나 같은 모든 짝수 n에 대한 골드바흐 파티션은 존재한다.
2보다 큰 짝수 n이 주어졌을 때, n의 골드바흐 파티션을 출력하는 프로그램을 작성하시오. 만약 가능한 n의 골드바흐 파티션이 여러 가지인 경우에는 두 소수의 차이가 가장 작은 것을 출력한다.
입력
첫째 줄에 테스트 케이스의 개수 T가 주어진다. 각 테스트 케이스는 한 줄로 이루어져 있고 짝수 n이 주어진다.
출력
각 테스트 케이스에 대해서 주어진 n의 골드바흐 파티션을 출력한다. 출력하는 소수는 작은 것부터 먼저 출력하며, 공백으로 구분한다.
제한
- 4 ≤ n ≤ 10,000
풀이
Try1
- 입력으로 주어지는 n보다 작은 소수들로 이루어진 리스트를 구한다.
- 대략적인 중간값인 n//2을 a라 할때 를 a를기준으로 a보다 큰 리스트를 left 작은 리스트를 right 에 저장한다.
- right 의 원소들을 차례로 하나씩 골라서 n - right[i] 의 값이 left에 존재 한다면 골드바흐의 파티션 조건을 만족하며 여러개의 골드 바흐 파티션들 중 소수끼리의 차가 가장 적은 조건도 만족한다.
- 주의 해야 할 점은 n//2 자체가 소수일 경우고 이는 예외 처리를 해준다.
위 조건들을 코드로 구현하면 아래와 같다.
# 소수를 판별 하는 함수
def is_prime(x:int)->bool:
if x==1:
return False
for i in range(2,int(x**(1/2))+1):
if x%i==0:
return False
return True
# 골드바흐 파티션 함수
def gold_partion(x:int)->None:
# x이하의 소수들 선언
prime = [i for i in range(2,x) if is_prime(i)]
# 대략적인 중간값 x//2를 a로 설정
a = x//2
left = []
right = []
# prime 을 a를 기준으로 left right로 나눔
for p in prime:
if p==a:
return print(p,p)
elif p<a:
left.append(p)
else:
right.append(p)
# m과 x-m 이 소수일 경우 출력
for i in range(len(right)):
m = right[i]
if (x-m) in left:
return print(x-m,m)
case = int(input())
for i in range(case):
n = int(input())
gold_partion(n)
3
8
3 5
10
5 5
16
5 11
답은 맞았으나 시간초과가 떠서 알고리즘 개선이 필요하다.
Try2
def is_prime(x:int)->bool:
if x==1:
return False
for i in range(2,int(x**(1/2))+1):
if x%i==0:
return False
return True
# n의 제한 조건이 문제 주어 졌으므로 제한 조건을
# 만족하는 모든 소수를 한번에 선언
prime = [i for i in range(2,10000+1) if is_prime(i)]
def gold_partion(x:int)->None:
# prime 중 x보다 작은 리스트만 tmp에 저장
tmp = list(filter(lambda z: z<x,prime))
a = x//2
if a in tmp:
return print(a,a)
left = [i for i in tmp if i<a]
right = [i for i in tmp if i>a]
for i in range(len(right)):
m = right[i]
if (x-m) in left:
return print(x-m,m)
case = int(input())
for i in range(case):
x = int(input())
gold_partion(x)
1
14
7 7
배운점
문제의 제한조건 까지 모두 사용해야 최적의 알고리즘을 짤 수 있음을 배웠다.
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